El inductancia parásita serie de un condensador

Hace poco escribía sobre la importancia de tener en cuenta la resistencia parásita serie de un condensador (ESR). La ESR es un parámetro importante pero sin embargo, no tener en cuenta la inductancia serie equivalente puede ser incluso más catastrófico en un diseño.

Como ya habíamos hablado, estos elementos parásitos inherentes al condesador real hacen que su comportamiento deje de ser el esperado. La expresión de la impedancia de un condensador es
\[Z_C = \frac{1}{2 \pi f C}\]
Por lo que al subir en frecuencia su impedancia disminuye.

Circuito RLC
Circuito RLC

Podemos ver que hay un tanque LC en serie (un condensador y un inductor en serie). La característica principal de un tanque LC en serie es que a su frecuencia de resonancia, \(f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\) se comporta como un cortocircuito. Por debajo de esa frecuencia, predomina la impedancia del condesador, por encima de la frecuencia de resonancia domina la impedancia del inductor y justo a la frecuencia de resonancia la impedancia del condensador es igual y de signo contrario a la del inductor. Es por ello que se anulan.

Debido a esto, podemos esperar que a la frecuencia de resonancia la salida sea 0 porque ambas impedancias se anulen cortocircuitando la salida a masa.

La función de transferencia de este circuito (o parámetro S21) es:
\[H(s) = \frac{s^2 + \frac{1}{LC}}{s^2 + s \frac{R_g}{L} + \frac{1}{LC}}\]

Diagrama de Bode del circuito LC
Diagrama de Bode del circuito LC

De la gráfica podemos observar todo lo que habíamos predicho teóricamente.

Sin embargo, si añadimos la ESR encontramos que la función de transferencia ahora es
\[H(s) = \frac{s^2 + s \frac{R}{L} + \frac{1}{LC}}{s^2 + s \frac{R+R_g}{L} + \frac{1}{LC}}\]

Diagrama de Bode para diferentes ESR
Diagrama de Bode para diferentes ESR

Como se puede ver, cuanto más grande es la ESR el pico de resonancia es menor. Si un condensador es muy malo (tiene unas ESR y ESL altas), se parecerá más a la curva azul (ESR = 10).

Temporizadores protocolo RIP

En el protocolo RIP existen 4 temporizadores.

  • Temporizador de actualizaciones (routing-update timer): es un temporizador global que indica cúando se tiene que volver a enviar la tabla a los routers vecinos. Por defecto tiene una duración de 30 segundos.
  • Temporizador de caída de servicio (routing-timeout timer): indica el tiempo máximo que una entrada puede permanecer sin recibir una actualización antes de ser marcada como inalcanzable. Se resetea cuando se recibe una actualización de esa entrada. Por defecto tiene una duración de 180 segundos.
  • Temporizador de purga (route-flush timer): se pone en marcha una vez se agota el temporizador de caída de servicio Si se agota, se elimina la entrada de la tabla de encaminamiento del router. Por defecto tiene un valor de 12o segundos.
  • Temporizador de espera (hold-down timer): temporizador asociado a cada entrada de la tabla que se inicia cuando una ruta pasa a inalcanzable por una actualización desde un vecino, recordando su valor anterior. Durante el lapso de tiempo en el que el contador se agota, el router no aceptará la actualización de ningún vecino para esa ruta de destino. Esto impide que se confunda un router haciéndole creer que otro router puede tener una ruta viable a un destino invalidado de otro modo. Sin embargo, existen varias opciones con los datos de la tabla según los datos recibidos:
    • Opción 1: el vecino me vuelve a informar de que el destino es alcanzable. Se actualiza el valor a X+1 sin importar el valor anterior (donde X es el valor que me envía el vecino).
    • Opción 2: otro vecino que no es quien me había informado de que el destino estaba inalcanzable me dice que tengo una distancia mejor que la original \(Y+1 < X_0\) (donde Y es el valor enviado por el nuevo vecino y \(X_0\) el valor anterior a haber sido informado que el destino era inalcanzable). Es este caso, guarde la información de Y+1.
    • Opción 3: un vecino que no es quien me había informado de que el destino estaba inalcanzable me dice que la distacia es mayor o igual al valor anterior. \(Y+1 \geq X_0\). Esta información se descarta por si es un bucle de enrutamiento.

RIP timers

Mejoras del protocolo RIP

Existen varios mecanismos para evitar los bucles de encaminamiento así como para disminuir el tiempo de convergencia cuando hay un cambio en la red.

Horizonte dividido: no enviar a ningún vecino las rutas que tienen como siguiente salto este vecino.

Rutas envenedadas: cuando un router se da cuenta de que un enlace ha dejado de estar operativo, envía explícitamente métricas 16 (inalcanzable) a sus vecinos.

Horizonte dividido + rutas envenenadas: si un vecino tiene en su tabla que se puede llegar al destino a través de él, le envía una métrica 16 para que no lo elija.

Actualizaciones inmediatas: cuando hay un cambio, se envía en ese instante el cambio que se ha producido. Cuando una actualización afecte la tabla de un router, este también enviará su tabla de nuevo. Este proceso continúa hasta que ningún router se vea afectado.

Utilizando condensadores como un transformador de impedancias

Los transformadores son elementos muy útiles cuando es necesario modificar la impedancia vista desde un punto del circuito. Cuando estamos diseñando un filtro paso banda y queremos conectar la siguiente etapa es muy importante no modificar la resistencia del circuito, ya que modificaríamos su ancho de banda. Por otra parte, construir transformadores es algo caro, que ocupa mucho espacio y poco práctico. Por ello intentar buscar una solución sin que utilice bobinas es una buena idea.

Transformación paralelo-serie

Para empezar, deberemos saber como pasar del paralelo de una resistencia y un condensador a la disposición en serie de una resistencia y un condensador:

temp

 

La impedancia equivalente del paralelo es:

\[Z = \frac{R_p}{1 + R_p C_p j \omega} = \frac{R_p}{1+R_p C_p j \omega} \cdot \frac{1-j\omega R_p C_p}{1-j\omega R_p C_p}=\frac{R_p(1-j\omega R_p C_p)}{1+\omega^2 R_p^2 C_p^2}=\frac{R_p}{1+\omega^2 R_p^2 C_p^2} – \frac{j\omega R_p^2 C_p}{1+\omega^2 R_p^2 C_p^2}\]

Si \(R_p >> \frac{1}{C_p\omega}\), entonces podemos aproximar la impedancia equivalente como:

\[Z \approx \frac{1}{R_p C_p^2 \omega^2}-j\frac{1}{\omega\cdot C_p}\]

Por tanto:

\[R_s = \frac{1}{R_p C_p^2 \omega^2}\]

\[C_s = C_p\]

Como hemos visto esto solo es válido cuando la impedancia de la resistencia paralela es mucho mayor que la impendancia del condensador. Por tanto, podemos reescribir la condición como \[f >> \frac{1}{2\pi R_p C_p}\]

Veamos un ejemplo:

temp (3)

 

Primero tenemos que comprobar que a la frecuencia de trabajo (27 MHz) se cumplen la condición necesaria para que la aproximación sea válida:

\[f >> \frac{1}{2\pi R_p C_p} = \frac{1}{2\pi 1k\Omega 1nF}=159 kHz\]

Como vemos, a 27 MHz cumplimos de sobra la condición. Para calcular \[C_s\]:

\[R_s = \frac{1}{R_p C_p^2 \omega^2} = \frac{1}{1 k\Omega (1nF)^2 (2\pi\cdot 27 MHz)^2}=0.0347 \Omega\]

Transformación serie-paralelo

De la misma manera, podemos transformar el circuito serie en paralelo.

Transformación serie-paralelo

 

Ahora las identidades son:

\[R_p = \frac{1}{R_s C_s^2 \omega^2}\]

\[C_p = C_s\]

Siempre y cuando \[f >> \frac{1}{2\pi R_p C_p}\]

Uso como transfomador

Alternativa al transformador

 

Como vemos, de esta manera conseguimos tener un condensador y una resistencia en paralelo del valor:

\[C_{eq}=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1 + C_2}\]

\[R_p = R_0 (1+\frac{C_2}{C_1})^2\]

Como vemos \((1+\frac{C_2}{C_1})^2\) veces más grande.

Capacidad del canal gaussiano

En anteriores entradas hemos definido el canal gaussiano, que es el más comúnmente usado para modelar los efectos del canal. Ahora vamos a definir otro parámetro del canal gaussiano: su capacidad.

Para ello supongamos que utilizamos un código de repetición de n bits con una modulación BPSK.

Si queremos enviar el símbolo A, transmitiremos el valor \(\sqrt{P}\) es la amplitud de los símbolos en la modulación BPSK.

distance_detector
Diagrama de transmisión y recepción

Al enviar el símbolo de amplitud \(\sqrt{nP}\).

gaussian_repetitionPor el criterio de mínima distancia (definida como la distancia euclídea), se puede calcular la probabilidad de error como:
\[P_e = Q\left( \frac{\frac{|| x_A – x_B||}{2}}{ \sigma}\right) = Q\left( \sqrt{\frac{nP}{\sigma^2} } \right)\]
Por tanto, podemos hacer que la probabilidad de error en este canal sea tan pequeña como queramos simplemente aumentando el número de repeticiones. Sin embargo, esto es una mala estrategia ya que la velocidad de transmisión decrece con n. Si necesitamos n usos del canal para poder enviar 1 solo bit, nuestra codificación deja mucho que desear.

La manera de minimizar la probabilidad de error sin tener que aumentar el número de repeticiones es distribuyendo las palabras del código de forma eficiente a lo largo del espacio de la señal. En dos dimensiones (tal y como la figura anterior) equivaldría a separar tanto como pudieramos las dos gaussianas. Sin embargo, cuando nuestro código lo conforman n bits, el espacio de la señal deja de ser en 2 dimensiones y pasa a ser de n dimensiones.

Como vemos en el diagrama anterior, cuando el código c que enviamos pasa a través del canal se le añade un ruido w. De este modo, a la salida del canal tenemos la señal y que es igual a la suma del código y del ruido: y = c + w

Según la ley de los grandes números, cuando el número de bits del código n tiende a infinito, la potencia del ruido tiende valer su varianza \(\sqrt{P}\)

Por lo tanto, el código estará en un punto del hiperespacio Rn con distancia respecto al origen:
\[r_c = \sqrt{n P}\]
El ruido es aleatorio por lo que podría tener cualquier dirección del hiperespacio Rn y conforma una hiperesfera n-dimensional de radio:
\[r_w = \sqrt{n \sigma^2}\]
Así pues, cuando \(n \rightarrow \infty\), el vector y, que es la suma del código más el ruido del canal, estará en la superficie de una hiperesfera en Rn de radio ry:
\[r_y = \sqrt{n \left( P + \sigma^2 \right)}\]
Esta hiperesfera y con radio ry será la hiperesfera que englobe a todas las otras, ya que \(\sqrt{nP + \sigma^2}\) es la máxima amplitud que se puede enviar con la codificación de n repeticiones.

La comunicación será fiable siempre y cuando estas hiperesferas correspondientes para cada palabra código no se solapen. Teniendo esto en cuenta, el número máximo de palabras código que se podrán incluir dentro será la división entre el volumen de la mayor hiperesfera y el volumen de las hiperesferas de cada palabra codigo.

La superficie de una circunferencia es \(v_n = c_i r^n\). De este modo podemos definir esta relación de volumenes como:
\[\frac{V_y}{V_w} = \frac{r^n_y}{r^n_w} = \frac{\left( \sqrt{n\left( P + \sigma^2 \right)}\right)^n}{\left( \sqrt{n \sigma^2}\right)^n} = \left( 1+ \frac{P}{ \sigma^2} \right)^{\frac{n}{2}}\]
En consecuencia, si \(\left( 1+ \frac{P}{ \sigma^2} \right)^{\frac{n}{2}}\) es el número máximo de palabras código que caben en el espacio de la señal, el número máximo de bits por uso de canal que pueden ser transmitidos fielmente o con una probabilidad de error tan pequeña como se quiera por este canal será:
\[C = \underbrace{\frac{1}{n}}_{\text{cuantas veces uso el canal}} \underbrace{\log{ \left( 1+ \frac{P}{ \sigma^2} \right)^{\frac{n}{2}} }}_{\text{numero de bits necesarios para representar todos los simbolos}} = \frac{1}{n} \frac{n}{2} \log{ \left( 1+ \frac{P}{ \sigma^2} \right)} = \frac{1}{2} \log{ \left( 1+ \frac{P}{ \sigma^2} \right)}\]
Por lo que finalmente, la capacidad del canal AWGN es:
\[C =\frac{1}{2} \log{ \left( 1+ \frac{P}{ \sigma^2} \right) }\]
En el caso de canales complejos limitados en banda, podemos expresar la capacidad a partir del ancho de banda del canal B. El periodo del símbolo es el mismo que el tiempo de uso del canal, que equivale a \(\sigma^2 = N_0 B\). De esta manera, la expresión queda:
\[C =B \log{ \left(1 + \frac{P}{ \sigma^2 }\right) } = B \log{ \left( 1 + \frac{P}{N_0 B} \right) }= B \log{\left( 1 + SNR \right) }~~bits/s\]

Observaciones de la capacidad del canal gaussiano

  • Si la SNR es 0, la capacidad del canal también es 0.
  • La capacidad tiende a infinito si el ancho de banda B permanece constante y la SNR tiende a infinito, lo que significa que las comunicaciones sin ruido permiten tasas de transmisión infinitas.
  • Cuando el ancho de banda tiende a infinito:

\[C_{\infty} = \lim_{B \rightarrow \infty} \left[ B \log{ \left(1 + \frac{P}{ \sigma^2 } \right) } \right] \underbrace{=}_{\ln_e x = \frac{log_2 x}{log_2 e}} \\ = log_2 \left( e \right) \lim_{B \rightarrow \infty} \left[ B \ln{ \left( 1 + \frac{P}{ \sigma^2 } \right)} \right] \underbrace{=}_{l’H\hat{o}pital} \\ = \log_2{ \left( e \right) } \frac{P}{N_0} = 1.44 \frac{P}{N_0}\]
Por tanto, la máxima capacidad que podemos tener es \(C_\infty T_b = 1\),
\[C_\infty T_b = 1.44 \frac{P T_b}{N_0} = 1.44 \frac{E_b}{N_0} = 1 \Rightarrow \left. \frac{E_b}{N_0} \right|_{\text{min}} = \\ = \frac{1}{1.44} = 0.69 = -1.59~dB\]
que es el llamado límite de Shannon. Es la mínima relación entre la energía del bit y la densidad espectral de potencia del ruido a la que podemos transmitir.

coding_evolution

Revisando los filtros de segundo orden: filtro paso bajo

Los filtros son una de las piezas claves en la electrónica y sobretodo en el mundo de las telecomunicaciones. Para poder identificar el orden de un filtro, si trazamos si diagrama de Bode y observamos que la atenuación es de 20 dB/década se tratará de un filtro de 1º orden, 40 dB/década para un filtro de 2º orden, 60 dB/decada para un filtro de 3º orden, etc. Otra manera más práctica es mirar el número de polos y ceros que presenta la función de transferencia, lo que se traduce en mirar cuántos condensadores y inductores presenta. Esta regla no tiene por qué ser siempre cierta, así que para asegurarnos será mejor recurrir al diagrama de Bode.

En esta ocasión nos centraremos en los filtros de segundo orden, en concreto los filtros paso bajo. Su función de transferencia genérica es de la forma:
\[H(s)=\frac{H_0}{s^2+2\zeta\omega_0 s+\omega_0^2}\]

\(H_0\): es la amplificación a baja frecuencia del filtro
\(\zeta\): es el coeficiente de amortiguación
\(BW\)) en radianes. Por tanto la función de transferencia puede ser reescrita como:
\[H(s)=\frac{H_0}{s^2+BW s+\omega_0^2}\]
Otro parámetro importante de un filtro paso banda es el factor de calidad. Este nos da información sobre como de estrecho y selectivo es el filtro. Una de las definiciones del factor de calidad (Q) es:
\[Q=\frac{f_o}{BW}\]
Si lo analizamos asintoticamente, si el filtro tuviera un ancho de banda \(f_0 \pm BW\), pero como veremos es algo muy complicado de conseguir actualmente.

Screen Shot 2014-10-05 at 16.49.17

Forzar a una imagen aparecer en la sección correspondiente en LaTeX

En LaTeX hay veces que al compilar el documento la imagen aparece en la página siguiente o incluso antes. Para evitar esta situación basta con utilizar unos modificadores en la definición de la figura que son [!h]

  • !: fuerza a sobreescribir cualquier configuración anterior ya descrita.
  • h: fuerza a aparecer en esa misma sección la imagen. h viene de here

Ejemplo:

Coeficiente binomial

\(\binom{n}{i}\) es el número de subconjuntos de \(i\) elementos que se puede hacer con un conjunto \(n\) elementos.

\(n\): número total de elementos
\(i\): longitud de los subconjuntos
\[\binom{n}{i} = \frac{n!}{i! \left( n-k \right)! }\]
Esto nos sirve también para poder entender el ensayo de Bernoulli. Este nos dice que si el resultado de un experimento ocurre con probabilidad \(k\) veces es:
\[P_n \left( k \right) = \binom{n}{k} P_A^k \left( 1-P_A \right)^{n-k}\]

Redes de adaptación

Las redes de adaptación son necesarias cuando queremos maximizar la transferencia de potencia entre dos sistemas conectados en cascada. Las redes de adaptación se comportan como filtros en los que en la banda de paso hay adaptación. En la banda de frecuencia a la cual la red no está adaptada, la potencia es reflejada.

Para asegurar la máxima transferencia de potencia, la impedancia de carga debe ser la compleja conjugada del generador.

Máxima transferencia de potencia (MTP)
Máxima transferencia de potencia (MTP)

Ceros de transmisión

Dependiendo de la disposición de inductores y condensadores, es posible crear ceros de transmisión en los cuales no haya transferencia de señal entre la entrada y la salida.

Cero de transmisión en DC ( \(f= 0\) ).

Para conseguir un cero de transmisión en DC podemos poner un condensador en serie entre entrada y salida o una inductancia en derivación (en paralelo a masa).

zero1

La pendiente con la que tiende a 0 el diagrama de Bode es de -20 dB/dec o 6 dB/oct.

Para calcular las octavas que hay entre dos frecuencias:
\[N_{octavas} = \log_2{\frac{f_{sup}}{f_{inf}}}\]
Para calcular el número de décadas entre dos frecuencias:
\[N_{dec} = \log_{10}{\frac{f_{sup}}{f_{inf}}}\]
Para pasar de décadas a octavas:
\[N_{dec} = 0.3 N_{octavas}\]
Cero de transmisión en \(f=\infty\)

Para conseguir un cero de transmisión a frecuencias muy altas, hay que poner un inductor en serie o un condensador en derivación.

La pendiente en el diagrama de Bode es de 20 dB/dec o 6 dB/oct.

zero2

Cero a \(0< f_R < \infty\)

Para crear un cero a una frecuencia que no es ni DC ni a frecuencias infinitas, es necesario utilizar circuitos resonadores (también llamados circuitos tanque).

Existen dos tipos de resonadores: los serie y los paralelo.

Los resonadores serie constan de un condensador y un inductor en serie que a la frecuencia de resonancia equivalen a un cortocircuito. Por tanto, para forzar un cero de transmisión, será necesario poner un resonador serie en derivación.

Por otra parte, tenemos los resonadores paralelo, que a la frecuencia de resonancia son equivalentes a un circuito abierto. Para crear un cero de transmisión basta con ponerlos en serie entre la entrada y la salida del circuito.

La frecuencia de resonancia de un resonador es: \(f_R = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)

zero3Topologías de adaptación con elementos concentrados

Existen 3 topologías de redes en las que se necesita una red de adaptación para conseguir MTP:

  1. \(R_s = R_L\)
  2. \(R_s \neq R_L\)
  3. La impedancia de carga o fuente es compleja.

1) Impedancia compleja con \(R_S = R_L\)

adp1En esta red de adaptación el valor de la parte real de la impedancia coincide con la impedancia del generador. Sin embargo, hay un parte imaginaria que es necesario eliminar. En este caso es tan sencillo como añadir en serie una impedancia imaginaria de signo contrario. Es decir, si la reactancia es positiva (carácter inductivo), habrá que poner un condesador. Si la reactancia es negativa (carácter capacitivo), habrá que poner un inductor. De esta manera, es equivalente a tener un circuito tanque en serie. Sin embargo, como ya hemos visto anteriormente esta solución solo es válida para una frecuencia ya que ambos valores solo se anulan a su frecuencia de resonancia.

Una manera de medir cómo de estrecha será la banda a la cual se da la adaptación es utilizando el factor de calidad Q. En circuitos paso banda, el factor de calidad establece la relación que hay entre la frecuencia de paso y el ancho de banda a -3 dB. Es decir:
\[Q = \frac{f_0}{BW}\]
qComo vemos, si el ancho de banda es grande (poco selectivo), la Q es pequeña. Si el filtro es muy selectivo, la Q es grande.

Este parámetro puede ser medido en función de la reactancia y el valor de la resistencia de carga:
\[Q = \frac{X_L}{2R}\]
Por tanto, si la resistencia es grande la Q es pequeña (el filtro es poco selectivo) y la banda de adaptación es ancha. Si por el contrario la resistencia es pequeña lleva a Q muy grandes (muy selectivo). Ambos extremos son difíciles de solucionar en la práctica, ya que conseguir un filtro muy selectivo o de gran ancho de banda es complicado.

2) Impedancia compleja con \(R_S \neq R_L\)

En este caso, las resistencia de carga y de fuente no coinciden. Es por ello que se necesita subir o bajor el valor de la resistencia de carga para adaptar con la impedancia de fuente.

2Para diseñar este tipo de redes de adaptación se utilizan redes en L:

rsnerl

Sin embargo el principal problema del diseño de este tipo de redes es que su cálculo es muy largo sobretodo cuando el número de elementos aumenta.

Este proceso se puede simplificar si utilizamos equivalencias serie-paralelo de circuitos RC y RL.

rc

RL
\[Q_s = \frac{X_s}{R_s} = Q_p = \frac{R_p}{X_p} = Q\]
\[R_p = \left( 1 + Q^2 \right)R_s\]
\[C_p \approx C_s\]
\[L_p \approx L_s\]
El factor de calidad (Q) indica cómo de ideal es un dispositivo a la hora de almacenar energía. Un dispositivo que pueda almacenar toda la energía sin disiparla tendrá un factor de calidad que tenderá a infinito. Una manera fácil de saber cómo es la expresión del factor de calidad con una resistencia en serie es pensando que si la resistencia en serie es muy grande, esta disipará mucha potencia y el factor de calidad será bajo. Por tanto, en la expresión del factor de calidad para un dispositivo con una resistencia en serie, el valor de la resistencia está en el denominador \(Q_p = \frac{R_p}{X_p}\)

La manera en la que se deben colocar los elementos es la siguiente: con la resistencia de mayor valor, un elemento en paralelo (para bajar su impendancia). Y con la resistencia de menor valor un elemento en serie (para subir su impedancia).

ejRLCPara calcular los valores de los elementos hay que igualar el factor de calidad Q de las redes serie y paralelo:
\[Q_s = Q_p = \sqrt{\frac{R}{r} – 1}\]
donde R es la resistencia con el valor nominal más alto y r la resistencia más baja.

Una vez calculado el factor de calidad, se obtiene el valor de la reactancia y con ello, el valor nominal del condensador o inductor.

Existen 4 disposiciones distintas:

l

Ejemplo:

EnEjQueremos adaptar estos dos puertos para que a la frecuencia de 850 MHz haya MTP y al mismo tiempo que la polarización en DC también pueda pasar del puerto 1 al 2.

Debido a que no podemos bloquear la continua, no podemos utilizar un condensador en serie con la resistencia del puerto 1. Por tanto, tenemos que utilizar la red en L con una bobina en serie y un condensador en derivación:

lPara calcular los valores de L y C:
\[Q_s = Q_p = \sqrt{\frac{R}{r} -1 } = \sqrt{\frac{50}{5} -1} = 3\]
\[Q_s = \frac{X_s}{R_s} \Rightarrow X_s = Q \cdot R_s = 2\pi f L\]
\[L = \frac{Q \cdot R_s}{2\pi f} = \frac{3 \cdot 5}{2\pi \cdot 850\cdot 10^6} = 2.8\text{ nH}\]
\[Q_p = \frac{R_p}{X_p} \Rightarrow X_p = \frac{R_p}{Q_p} = \frac{1}{2\pi f C}\]
\[C = \frac{Q_p}{2\pi f R_p} = 11.2\text{ pF}\]
ejemploQ

Respuestra en frecuencia del parámetro S21
Respuestra en frecuencia del parámetro S21

Sin embargo, cuando la diferencia de resistencias es muy grande, es posible que necesitemos unos valores de Q que no nos convengan en la práctica (recordar que \(Q = \sqrt{\frac{R}{r} – 1}\) ).

 Es decir, este salto de impedancia puede ser muy grande
Es decir, este salto de impedancia puede ser muy grande

Podemos hacer varios saltos de impedancia en lugar de uno solo. Esto da lugar a las redes en T y redes en π:

RT

rpiPor tanto disponemos de 3 tipos de redes: las redes en L, las redes en T y las redes en π. Con estas redes en T y π podemos aumentar el ancho de banda ya que al hacer saltos más pequeños de impedancia, la Q disminuye y el ancho de banda aumenta. Con las redes en L podemos disminuir el ancho de banda, ya que la resistencia virtual está entre un valor de \(R_{int} < r\) o \(R_{int} > R\).

Aumento del ancho de banda

Para aumentar el ancho de banda hay que utilizar una red en T o π. Si queremos una red de adaptación con un ancho de banda grande, la Q deberá se baja. Para que la Q sea baja, los saltos de impedancia deben de ser pequeños. Por tanto, podemos hacer saltos intermedios que tengan una Q menor y de esta manera aumentar el ancho de banda:

saltoimpe

Para que una red en T o en π dé un ancho de banda mayor, el valor de la resistencia \(R_L\). Un valor adecuado es el que da la media geométrica entre los dos valores:
\[R_{int} = \sqrt{R_s R_L}\]
Por tanto, las redes en T y en π no sirven para adaptar resistencias de carga y generador ya iguales ya que se hacen saltos de impedancia.

Si queremos poner \(m\) sería:
\[R_m = R_S^{\frac{n-m}{n}} R_L^\frac{m}{n}\]

Reducción del ancho de banda

Para reducir el ancho de banda debemos hacer saltos de impedancia más grandes. Esto se puede conseguir de la siguiente manera:

saltoimpeEl valor de \(R_{int} > R\). Ambas combinaciones harán que el ancho de banda sea menor.

3) Impedancias complejas

Una tercera forma de adaptar las impedancias de carga y fuente es mediante absorción o resonancia de la parte compleja de impedancia. Estas soluciones son de banda muy estrecha.

absorcionLa absorción consiste en utilizar la parte compleja de la carga o fuente como parte de la red de adaptación. Es decir, si necesitamos un condensador de 10 pF y la carga tiene un condesandor equivalente de 5 pF, solo será necesario poner un condensador de 5 pF ya que los otros 5 pF restantes los pondrá la parte imaginaria de la impedancia de carga.

La otra estrategia es hacer resonar la reactancia de la carga para poder eliminarla a la frecuencia de trabajo. Es decir, si tenemos un condensador en derivación, podemos ponerle un inductor en paralelo para que resuene a la frecuencia de trabajo y haya máxima transferencia de potencia.

resonanciaTambién podemos resonar solo una parte de la reactancia y utilizar la otra para conformar la red de adaptación en L:

resonanciaparcialAdaptación con líneas de transmisión

En las líneas de transmisión tenemos 2 grados de libertad: la impedancia característica y la longitud eléctrica. Jugando con estos valores podemos sintetizar valores de inductancia y capacitancia utilizando transformadores en \(\frac{\lambda}{4}\) y stubs en paralelo. Sin embargo, las líneas de transmisión no sirven para adaptar los casos en los los valores de resistencia de carga y fuente sean diferentes.

lt lt2

El canal gaussiano

El canal gaussiano se utiliza para modelar la amplia mayoría de casos reales en comunicaciones. A diferencia de los canales vistos anteriormente como el canal borrador o canal simétrico, el canal gaussiano es continuo. Este canal también es conocido como canal AWGN (Additive White Gaussian Noise Channel), en la que el ruido se modelo mediante una variable aleatoria gaussiana w, con media 0 y varianza \(\sigma^2\).

Una manera de poder detectar a la salida del canal los mensajes de la fuente, es mediante un detector por umbral.

threshold_detectorSi transmitimos símbolos BPSK de amplitudes ±A, las funciones de verosimilitud \(p_y \left( y | x = A \right)\) y \(p_y \left( y | x = -A \right)\) son gaussianas de media ±A y varianza \(\sigma^2\)

Para decidir si se ha enviado un 1 ó un 0, se utiliza el criterio de mínima distancia, de manera que si los símbolos equiprobables basta con saber si están a la derecha o izquierda del origen de coordenadas para decirdir si son un 1 ó un 0 respectivamente.

Función Q

La función Q es una función que calcula la integral de una gaussiana, de manera que la podemos aprovechar aquí para calcular el error de símbolo en la función de distribución de probabilidad.

gaussian

Si tenemos una función de probabilidad gaussiana con media \(\mu\), su expresión es:
\[p\left( x\right) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi }}e^{-\frac{\left( x – \mu \right)^2}{2 \sigma^2}}\]
Si queremos saber la probabilidad que hay desde \(\mu + x_0\) hasta \(\infty\), la expresión utilizando la función Q es:
\[P\left( X > x_0 \right) = Q \left( \frac{ x_0 – \mu}{\sigma} \right)\]
De esta manera podemos calcular la probabilidad de error que se comete mediante el uso de detección por umbral:
\[P_e = Q \left( \frac{A}{\sigma} \right)\]