Repaso rápido al producto vectorial

En siguientes entradas vamos a hablar de la polarización de las ondas electromagnéticas radiadas por antenas. Es por ello que es útil tener presentes las propiedades del producto vectorial.

Nota: la notación \(\mathbf{a}\) significa vector.

Algunas de las propiedades más importantes son:

\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0 \) si \(\mathbf{a} = 0\) ó \(\mathbf{b} = 0\) ó \(\mathbf{a} \| \mathbf{b}\)

El producto vectorial es nulo si uno de los dos vectores es 0 o si por el contrario, ambos vectores son perpendiculares.

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right| \cdot \left|\mathbf{b} \right| \cdot \sin{\theta}~ \hat{\mathbf n}\]

Para calcular el módulo del producto vectorial, se puede multiplicar el módulo de ambos vectores por el seno del menor ángulo entre ambos vectores.
\(\hat{\mathbf n}\) es el vector unitario perpendicular a \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\).

\[\hat{\mathbf n} = \frac{ \mathbf a \times \mathbf b }{|\mathbf a \times \mathbf b|}\]

Para calcular el valor del producto vectorial:
\[\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf i – \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf j + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf k\]

 

Producto_Vectorial_según_el_angulo_entre_vectores
«Producto Vectorial según el angulo entre vectores» por Jesus Castañeda RetizTrabajo propio. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 4.0 vía Wikimedia Commons.

Si estamos tratando con coordenadas polares, como suele suceder en radiación, los vectores directores de \(\theta\), \(\phi\) y \(r\) son los que aparecen en la imagen. Una manera sencilla de recordar su dirección es la siguiente: dado un punto cualquiera del espacio, los vectores directores de \(\theta\), \(\phi\) y \(r\) apuntan en las direcciones en las que \(\theta\), \(\phi\) y \(r\)aumentan. Por lo tanto:

 

Coordenadas_esféricas_figura
«Coordenadas esféricas figura» por Derivative work: Josemontero9Coordenadas_eséricas_figura.png by Romero SchmidtkeCoordenadas esféricas figura.png. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons.

Por tanto:

\[\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{\theta}} = \hat{\mathbf{\phi}}\]

\[\hat{\mathbf{\theta}} \times \hat{\mathbf{\phi}}= \hat{\mathbf{r}}\]
\[\hat{\mathbf{\phi}} \times \hat{\mathbf{r}} = \hat{\mathbf{\theta}}\]

Donde podríamos equiparar \(\hat{r}\) con \(\hat{x}\), \(\hat{\theta}\) con \(\hat{y}\) y \(\hat{\phi}\) con \(\hat{z}\)

de manera que:
\(\hat{x}\) \(\hat{r}\)
\(\hat{y}\) \(\hat{\theta}\)
\(\hat{z}\) \(\hat{\phi}\)

el producto de izquierda a derecha, siempre da como resultado el siguiente valor de la derecha con signo dando la vuelta por los extremos de la tabla y en sentido contrario, el signo negativo.