Parámetros fundamentales de las antenas en recepción

Adaptación

La máxima potencia que puede transferir una antena cuya impedancia es R_a a una carga es

P_{radiada~max} = \frac{\left| V_a \right|^2}{4 R_a}

Sin embargo, en general si no hay adaptación, la potencia entregada por una antena de impedancia R_a + j X_a a la una carga con una impedancia R_L + j X_L es

P_{radiada} = \frac{\left|V_a\right|^2 R_L}{\left(R_L + R_a \right)^2 + \left( X_L + X_a \right)^2}

Por tanto, se puede definir un coeficiente de adaptación como la relación entre la potencia recibida y la potencia que se recibiría en caso de tener condiciones de máxima transferencia de potencia.

C_a = \frac{P_{radiada}}{P_{radiada~max}} = \frac{\frac{\left|V_a\right|^2 R_L}{\left(R_L + R_a \right)^2 + \left( X_L + X_a \right)^2}}{\frac{\left| V_a \right|^2}{4 R_a}}= \\ = \frac{4 R_a R_L}{\left( R_a + R_L \right)^2 + \left(X_a + X_L \right)^2}

Área y longitud efectivas

El área efectiva se define como la relación entre la potencia recibida y la densidad de potencia que capta la antena. La antena debe estar adaptada a la carga y la polarización de la onda.

A_{ef} = \frac{W_r}{P_i}~~m^2

La longitud efectiva se define como la relación entre la tensión inducidad en circuito abierto y el campo eléctrico incidente.

l_{ef} = \frac{V_a}{E_i}

Repaso rápido al producto vectorial

En siguientes entradas vamos a hablar de la polarización de las ondas electromagnéticas radiadas por antenas. Es por ello que es útil tener presentes las propiedades del producto vectorial.

Nota: la notación \(\mathbf{a}\) significa vector.

Algunas de las propiedades más importantes son:

\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0 \) si \(\mathbf{a} = 0\) ó \(\mathbf{b} = 0\) ó \(\mathbf{a} \| \mathbf{b}\)

El producto vectorial es nulo si uno de los dos vectores es 0 o si por el contrario, ambos vectores son perpendiculares.

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right| \cdot \left|\mathbf{b} \right| \cdot \sin{\theta}~ \hat{\mathbf n}\]

Para calcular el módulo del producto vectorial, se puede multiplicar el módulo de ambos vectores por el seno del menor ángulo entre ambos vectores.
\(\hat{\mathbf n}\) es el vector unitario perpendicular a \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\).

\[\hat{\mathbf n} = \frac{ \mathbf a \times \mathbf b }{|\mathbf a \times \mathbf b|}\]

Para calcular el valor del producto vectorial:
\[\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf i – \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf j + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf k\]

 

Producto_Vectorial_según_el_angulo_entre_vectores
«Producto Vectorial según el angulo entre vectores» por Jesus Castañeda RetizTrabajo propio. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 4.0 vía Wikimedia Commons.

Si estamos tratando con coordenadas polares, como suele suceder en radiación, los vectores directores de \(\theta\), \(\phi\) y \(r\) son los que aparecen en la imagen. Una manera sencilla de recordar su dirección es la siguiente: dado un punto cualquiera del espacio, los vectores directores de \(\theta\), \(\phi\) y \(r\) apuntan en las direcciones en las que \(\theta\), \(\phi\) y \(r\)aumentan. Por lo tanto:

 

Coordenadas_esféricas_figura
«Coordenadas esféricas figura» por Derivative work: Josemontero9Coordenadas_eséricas_figura.png by Romero SchmidtkeCoordenadas esféricas figura.png. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons.

Por tanto:

\[\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{\theta}} = \hat{\mathbf{\phi}}\]

\[\hat{\mathbf{\theta}} \times \hat{\mathbf{\phi}}= \hat{\mathbf{r}}\]
\[\hat{\mathbf{\phi}} \times \hat{\mathbf{r}} = \hat{\mathbf{\theta}}\]

Donde podríamos equiparar \(\hat{r}\) con \(\hat{x}\), \(\hat{\theta}\) con \(\hat{y}\) y \(\hat{\phi}\) con \(\hat{z}\)

de manera que:
\(\hat{x}\) \(\hat{r}\)
\(\hat{y}\) \(\hat{\theta}\)
\(\hat{z}\) \(\hat{\phi}\)

el producto de izquierda a derecha, siempre da como resultado el siguiente valor de la derecha con signo dando la vuelta por los extremos de la tabla y en sentido contrario, el signo negativo.