Polarización de una onda plana que no se propaga según los ejes

Uno de los casos más complicados y que engloban todas las posibles dificultades en el cálculo de la polarización es en el caso de tener una onda plana que no se propaga según los ejes.

Primero vamos a comenzar por recordar cómo se pueden clasificar las diferentes polarizaciones de onda electromagnética.

  1. Polarización lineal: la onda electromagnética se propaga variando su amplitud en una línea.
  2. Polarización circular: la onda electromagnética dibuja una circunferencia.
  3. Polarización elíptica: la onda electromagnética se propaga dibujando una elipse.

Para averiguar con qué polarización se propaga una onda electromagnética se tienen que satisfacer las siguientes condiciones:

  1. Polarización lineal: se da cuando una de las dos componentes perpendiculares es nula o cuando el desfase entre ambas es múltiplo de $\pi$ ($0$, $\pi$, $2\pi$, …).
  2. Polarización circular: la onda electromagnética tiene dos componentes de la misma amplitud y se encuentran desfasadas un multiplo entero de $\frac{\pi}{2}$, por lo que la onda electromagnética. Si $\phi_2 – \phi_1 > 0$ se trata de polarización circular a izquierdas (o levogira) mientras que si $\phi_2 – \phi_1 < 0$ se trata de polarización circular a derechas (o dextrogira).
  3. Polarización elíptica: no se satisfacen ninguno de los requisitos anteriores.

Algoritmo general de análisis de polarización

  1. Definir vector unitario del sentido de propagación $\hat{\mathbf{k}}$: es el vector que acompaña la exponencial compleja cambiado de signo.
  2. Escoger una base unitaria en la que descomponer la amplitud $\mathbf{e_1}$. Para calcular la polarización, hay que escribir la amplitud de la onda electromagnética en dos vectores perpendiculares al vector de propagación. Por tanto, podemos escoger cualquier vector que sepamos que sea perpendicular al vector $\hat{\mathbf{k}}$.
  3. Calcular la base perpendicular a $\hat{\mathbf{k}}$ y $\mathbf{e_1}$. Para ello hay que realizar el producto vectorial $\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{e_1}$.
  4. Descomponer la amplitud del campo en las bases $\mathbf{e_1}$ y $\mathbf{e_2}$ en forma compleja polar. Es tan sencillo como hacer el producto escalar de la amplitud por el vector unitario de ambas bases.
  5. Dividir el módulo de $E_{01}$ entre $E_{02}$ y restar $\phi_2 – \phi_1 $ y verificar a qué caso de polarización pertenece.

Ejemplo

\[\mathbf{E} = \left[ 4\hat{\mathbf{x}} + \left(1+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{y}} – \left(5+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{z}} \right]e^{-j \pi \left(x + y +z \right)}\]

    1. Vector unitario del sentido de propagación: $\hat{\mathbf{k}} = \frac{\mathbf{x} + \mathbf{y} +\mathbf{z} }{\sqrt{3}}$
    2. Escoger base unitaria perpendicular a $\hat{\mathbf{k}}$: $\mathbf{e_1} = \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\sqrt{2}}$
    3. Calcular base unitaria perpendicular a $\hat{\mathbf{k}}$ y $\mathbf{e_1}$: $\mathbf{e_2} = \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{e_1}$ $= \frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2}}
      \begin{vmatrix}\mathbf{x} & \mathbf{y} & \mathbf{z}\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0\end{vmatrix}

      $ $= \frac{\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} -2\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{6}}$

    4. Reescribimos la onda original con las nuevas bases $\mathbf{e_1}$ y $\mathbf{e_2}$.

$E_{01}$ $= \mathbf{E} \cdot \mathbf{e_1} $ $= \left( 4\hat{\mathbf{x}} + \left(1+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{y}} – \left(5+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{z}} \right)\cdot \left( \frac{\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{y}}}{\sqrt{2}} \right)$ $= \sqrt{6} e^{-j \frac{\pi}{6}}$

$E_{02}$ $= \mathbf{E} \cdot \mathbf{e_2} $ $= \left( 4\hat{\mathbf{x}} + \left(1+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{y}} – \left(5+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{z}} \right)\cdot \left(\frac{\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} -2\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{6}} \right)$ $= \sqrt{42} e^{j 0.33}$

$\mathbf{E}$ $= \left[ \sqrt{6} e^{-j \frac{\pi}{6}} \frac{\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{y}}}{\sqrt{2}} + \sqrt{42} e^{j 0.33} \frac{\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} -2\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{6}} \right]e^{-j \pi \left(x + y +z \right)}$

    1. Comprobar las condiciones:

$\frac{E_{02}}{E_{01}} = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{6}} \approx 2.64$, $\phi_2 – \phi_1 = 0.33 + \frac{\pi}{6} \approx 0.8565$
Como no se satisface ninguna de las condiciones para polarización lineal ni circular, se trata de una polarización elíptica a izquierdas (diferencia de fases positiva).

Parámetros fundamentales de las antenas en recepción

Adaptación

La máxima potencia que puede transferir una antena cuya impedancia es \(R_a\) a una carga es
\[P_{radiada~max} = \frac{\left| V_a \right|^2}{4 R_a}\]
Sin embargo, en general si no hay adaptación, la potencia entregada por una antena de impedancia \(R_a + j X_a\) a la una carga con una impedancia \(R_L + j X_L\) es
\[P_{radiada} = \frac{\left|V_a\right|^2 R_L}{\left(R_L + R_a \right)^2 + \left( X_L + X_a \right)^2}\]
Por tanto, se puede definir un coeficiente de adaptación como la relación entre la potencia recibida y la potencia que se recibiría en caso de tener condiciones de máxima transferencia de potencia.
\[C_a = \frac{P_{radiada}}{P_{radiada~max}} = \frac{\frac{\left|V_a\right|^2 R_L}{\left(R_L + R_a \right)^2 + \left( X_L + X_a \right)^2}}{\frac{\left| V_a \right|^2}{4 R_a}}= \\ = \frac{4 R_a R_L}{\left( R_a + R_L \right)^2 + \left(X_a + X_L \right)^2}\]

Área y longitud efectivas

El área efectiva se define como la relación entre la potencia recibida y la densidad de potencia que capta la antena. La antena debe estar adaptada a la carga y la polarización de la onda.
\[A_{ef} = \frac{W_r}{P_i}~~m^2\]
La longitud efectiva se define como la relación entre la tensión inducidad en circuito abierto y el campo eléctrico incidente.
\[l_{ef} = \frac{V_a}{E_i}\]

Repaso rápido al producto vectorial

En siguientes entradas vamos a hablar de la polarización de las ondas electromagnéticas radiadas por antenas. Es por ello que es útil tener presentes las propiedades del producto vectorial.

Nota: la notación \(\mathbf{a}\) significa vector.

Algunas de las propiedades más importantes son:

\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0 \) si \(\mathbf{a} = 0\) ó \(\mathbf{b} = 0\) ó \(\mathbf{a} \| \mathbf{b}\)

El producto vectorial es nulo si uno de los dos vectores es 0 o si por el contrario, ambos vectores son perpendiculares.

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right| \cdot \left|\mathbf{b} \right| \cdot \sin{\theta}~ \hat{\mathbf n}\]

Para calcular el módulo del producto vectorial, se puede multiplicar el módulo de ambos vectores por el seno del menor ángulo entre ambos vectores.
\(\hat{\mathbf n}\) es el vector unitario perpendicular a \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\).

\[\hat{\mathbf n} = \frac{ \mathbf a \times \mathbf b }{|\mathbf a \times \mathbf b|}\]

Para calcular el valor del producto vectorial:
\[\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf i – \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf j + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf k\]

 

Producto_Vectorial_según_el_angulo_entre_vectores
«Producto Vectorial según el angulo entre vectores» por Jesus Castañeda RetizTrabajo propio. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 4.0 vía Wikimedia Commons.

Si estamos tratando con coordenadas polares, como suele suceder en radiación, los vectores directores de \(\theta\), \(\phi\) y \(r\) son los que aparecen en la imagen. Una manera sencilla de recordar su dirección es la siguiente: dado un punto cualquiera del espacio, los vectores directores de \(\theta\), \(\phi\) y \(r\) apuntan en las direcciones en las que \(\theta\), \(\phi\) y \(r\)aumentan. Por lo tanto:

 

Coordenadas_esféricas_figura
«Coordenadas esféricas figura» por Derivative work: Josemontero9Coordenadas_eséricas_figura.png by Romero SchmidtkeCoordenadas esféricas figura.png. Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons.

Por tanto:

\[\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{\theta}} = \hat{\mathbf{\phi}}\]

\[\hat{\mathbf{\theta}} \times \hat{\mathbf{\phi}}= \hat{\mathbf{r}}\]
\[\hat{\mathbf{\phi}} \times \hat{\mathbf{r}} = \hat{\mathbf{\theta}}\]

Donde podríamos equiparar \(\hat{r}\) con \(\hat{x}\), \(\hat{\theta}\) con \(\hat{y}\) y \(\hat{\phi}\) con \(\hat{z}\)

de manera que:
\(\hat{x}\) \(\hat{r}\)
\(\hat{y}\) \(\hat{\theta}\)
\(\hat{z}\) \(\hat{\phi}\)

el producto de izquierda a derecha, siempre da como resultado el siguiente valor de la derecha con signo dando la vuelta por los extremos de la tabla y en sentido contrario, el signo negativo.