Polarización de una onda plana que no se propaga según los ejes

Uno de los casos más complicados y que engloban todas las posibles dificultades en el cálculo de la polarización es en el caso de tener una onda plana que no se propaga según los ejes.

Primero vamos a comenzar por recordar cómo se pueden clasificar las diferentes polarizaciones de onda electromagnética.

  1. Polarización lineal: la onda electromagnética se propaga variando su amplitud en una línea.
  2. Polarización circular: la onda electromagnética dibuja una circunferencia.
  3. Polarización elíptica: la onda electromagnética se propaga dibujando una elipse.

Para averiguar con qué polarización se propaga una onda electromagnética se tienen que satisfacer las siguientes condiciones:

  1. Polarización lineal: se da cuando una de las dos componentes perpendiculares es nula o cuando el desfase entre ambas es múltiplo de $\pi$ ($0$, $\pi$, $2\pi$, …).
  2. Polarización circular: la onda electromagnética tiene dos componentes de la misma amplitud y se encuentran desfasadas un multiplo entero de $\frac{\pi}{2}$, por lo que la onda electromagnética. Si $\phi_2 – \phi_1 > 0$ se trata de polarización circular a izquierdas (o levogira) mientras que si $\phi_2 – \phi_1 < 0$ se trata de polarización circular a derechas (o dextrogira).
  3. Polarización elíptica: no se satisfacen ninguno de los requisitos anteriores.

Algoritmo general de análisis de polarización

  1. Definir vector unitario del sentido de propagación $\hat{\mathbf{k}}$: es el vector que acompaña la exponencial compleja cambiado de signo.
  2. Escoger una base unitaria en la que descomponer la amplitud $\mathbf{e_1}$. Para calcular la polarización, hay que escribir la amplitud de la onda electromagnética en dos vectores perpendiculares al vector de propagación. Por tanto, podemos escoger cualquier vector que sepamos que sea perpendicular al vector $\hat{\mathbf{k}}$.
  3. Calcular la base perpendicular a $\hat{\mathbf{k}}$ y $\mathbf{e_1}$. Para ello hay que realizar el producto vectorial $\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{e_1}$.
  4. Descomponer la amplitud del campo en las bases $\mathbf{e_1}$ y $\mathbf{e_2}$ en forma compleja polar. Es tan sencillo como hacer el producto escalar de la amplitud por el vector unitario de ambas bases.
  5. Dividir el módulo de $E_{01}$ entre $E_{02}$ y restar $\phi_2 – \phi_1 $ y verificar a qué caso de polarización pertenece.

Ejemplo

\[\mathbf{E} = \left[ 4\hat{\mathbf{x}} + \left(1+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{y}} – \left(5+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{z}} \right]e^{-j \pi \left(x + y +z \right)}\]

    1. Vector unitario del sentido de propagación: $\hat{\mathbf{k}} = \frac{\mathbf{x} + \mathbf{y} +\mathbf{z} }{\sqrt{3}}$
    2. Escoger base unitaria perpendicular a $\hat{\mathbf{k}}$: $\mathbf{e_1} = \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\sqrt{2}}$
    3. Calcular base unitaria perpendicular a $\hat{\mathbf{k}}$ y $\mathbf{e_1}$: $\mathbf{e_2} = \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{e_1}$ $= \frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2}}
      \begin{vmatrix}\mathbf{x} & \mathbf{y} & \mathbf{z}\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0\end{vmatrix}

      $ $= \frac{\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} -2\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{6}}$

    4. Reescribimos la onda original con las nuevas bases $\mathbf{e_1}$ y $\mathbf{e_2}$.

$E_{01}$ $= \mathbf{E} \cdot \mathbf{e_1} $ $= \left( 4\hat{\mathbf{x}} + \left(1+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{y}} – \left(5+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{z}} \right)\cdot \left( \frac{\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{y}}}{\sqrt{2}} \right)$ $= \sqrt{6} e^{-j \frac{\pi}{6}}$

$E_{02}$ $= \mathbf{E} \cdot \mathbf{e_2} $ $= \left( 4\hat{\mathbf{x}} + \left(1+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{y}} – \left(5+\sqrt{3}j \right)\hat{\mathbf{z}} \right)\cdot \left(\frac{\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} -2\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{6}} \right)$ $= \sqrt{42} e^{j 0.33}$

$\mathbf{E}$ $= \left[ \sqrt{6} e^{-j \frac{\pi}{6}} \frac{\hat{\mathbf{x}}-\hat{\mathbf{y}}}{\sqrt{2}} + \sqrt{42} e^{j 0.33} \frac{\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} -2\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{6}} \right]e^{-j \pi \left(x + y +z \right)}$

    1. Comprobar las condiciones:

$\frac{E_{02}}{E_{01}} = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{6}} \approx 2.64$, $\phi_2 – \phi_1 = 0.33 + \frac{\pi}{6} \approx 0.8565$
Como no se satisface ninguna de las condiciones para polarización lineal ni circular, se trata de una polarización elíptica a izquierdas (diferencia de fases positiva).

Rubén Sánchez Mínguez
IC design engineer en Analog Devices

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