Vector propio y valor propio

Los vectores propios de un operador lineal son aquellos que después haber sido transformados por el operador, tienen la misma dirección que tenían escalados un cierto valor. Este valor de reescalado es el valor propio.

1280px-mona_lisa_with_eigenvectorBy J. Finkelstein – The image of the Mona Lisa used in this image is Image:Mona_Lisa.jpeg. Arrows created using w:Inkscape, transformations made using w:GIMP, Public Domain, Link

En la imagen tenemos dos vectores, el rojo y el azul representados sobre el cuadro. Si realizamos la transformación de rotar el cuadro, es decir después de aplicar el operador lineal de rotación, obtenemos que el vector rojo sigue teniendo la misma dirección que tenía con la misma amplitud que tenía. Por tanto, el vector rojo es un vector propio (eigenvector) de esta transformación. Sin embargo, el vector azul sí cambia su dirección y no es vector propio.

Los eigenvectores tienen especial relevancia en la teoría de sistemas, ya que permiten escribir una convolución como una multiplicación.

Si la entrada a un sistema H es \(x(t)\) y lo podemos definir como una suma ponderada de sinusoides complejas:

\[ x(t) = \sum_{k=1}^M{a_k e^{j2\pi f_k t}} \]

Si \(e^{j2\pi f_k t}\) es un vector propio del sistema con un valor propio igual a \( H(j2\pi f_k)\), en lugar de escribir la salida como:

\[ y(t) = h(t) \ast x(t) \]

Podemos escribir la salida del sistema como:

\[ y(t) = \sum_{k=1}^M{a_k H\left( j 2 \pi f_k\right) e^{j 2 \pi f_k t}}\]

Por tanto, podemos describir el comportamiento de una señal en función de su frecuencia en lugar del tiempo. Y este es el principio del análisis de Fourier de las señales.

Rubén Sánchez Mínguez
IC design engineer en Analog Devices

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