Sistemas temporales discretos

La definición de sistema discreto en el tiempo corresponde a una transformación o operador que relaciona un conjunto de valor de entrada \(x[n]\) con un conjunto de valores de salida \(y[n]\).
\[ y[n] = T\{x[n]\} \]

Sistemas sin memoria

Son aquellos en los que los valores de salida \(y[n]\) solo dependen de valores presentes de la entrada \(x[n]\). Es decir, no dependen de \(x[n-1]\), \(x[n-2]\), …
Un sistema sin memoria podría ser:
\[ y[n] = \left( x[n] \right)^2 \]

Sistemas lineales

Los sistemas lineales cumplen la propiedad de superposición. Esto significa que la salida será  igual a la suma proporcional de las entradas.

\[ T\{a\cdot x_1[n] + b\cdot x_2[n] \} = a\cdot T\{x_1[n]\} + b\cdot T\{x_[n]\} \]

Sistemas invariantes en tiempo

Un sistema invariante en el tiempo es aquel cuya salida se ve desplazada en tiempo si así lo hace la entrada. Por tanto, un desplazamiento temporal de la señal de entrada, provocará un desplazamiento en la señal de salida. De esta manera, un sistema será invariante si para todo \(n_0\), la señal \(x_1 = x[n-n_0]\) produce una señal a la salida cuyo valor se \(y_1[n] = y[n-n_0]\).

Un ejemplo de un sistema no invariante en tiempo es:
\[ y[n] = x[Mn]\]
La respuesta \(y_1[n-n_0]\) a la entrada \(x_1[n-n_0]\) es:
\[ y_1[n] = x_1[Mn] = x[Mn-n_0] \]
Como vemos, \[ y[n-n_0] = x[M(n-n_0)] \neq y_1[n] \]
Por tanto, el sistema no el invariante.

Sistemas causales

Un sistema causal es aquel que para determinar los valores de salida del sistema, solo se necesiten los valores presentes o pasados de la entrada.

Sistemas estables

Son aquellos que para cada una de las posibles entradas finitas del sistema, la salida siempre es finita. Cada una de las posibles entradas finitas del sistema significa:
\[ |x[n]| \leq B_x < \infty \] Una salida finitia signfica: \[ |y[n]| \leq B_y < \infty \]

Sistemas lineales invariantes en el tiempo

Los sistemas que son invariantes en tiempo y a la vez lineales se pueden estudiar fácilmente a través del operador convolución. De esta manera, es posible obtener cuál va a ser la salida de un sistema en función de su entrada.

Un sistema queda completamente descrito a través de su función de transferencia \(h[n]\). Esta función de transferencia es la salida que obtenemos cuando a la entrada aplicamos un impulso \(\delta[n]\).

Autofunciones en sistemas lineales invariantes

Como hemos visto, los sistemas lineales invariantes son de especial interés debido a que tienen ventajas sobre los sistemas no lineal o no invariantes y es que se puede describir mediante su respuesta impulsional.

Por propiedades de la función \(\delta [n]\), es posible describir la secuencia \(x[n]\) como:
\[ x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\cdot \delta[n-k] \]

De este modo, al aplicar la secuencia \(x[k]\) a la entrada de un sistema, su salida será:
\[ y[n] =  T\left\{x[n] \right\} = T\left\{\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\cdot \delta[n-k] \right\} =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\cdot  T\left\{ \delta[n-k] \right\} \]

Si identificamos la transformación del tren de deltas \( T\left\{ \delta[n-k] \right\}\) como su respuesta impulsional \(h[n]\), obtenemos lo que se conoce como su ecuación de convolución:
\[ y[n] =  \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\cdot  h[n-k] \]

Como ya se explicó en otra entrada, las autofunciones son útiles para la caracterización de sistemas. Las autofunciones son aquellas que al aplicarse en la entrada de un sistema, su salida es la misma que la función de la entrada multiplicada por una constante. Es decir, si \(x[n]\) es una autofunción de \(y[n]\):

\[ y[n] =  T\left\{x[n] \right\} = a \cdot x[n]  \]

donde \(a\) es una constante.

Una de las autofunciones de los sistemas invariantes es la exponencial compleja \(x[n] = z^n\) donde \(z\) es un número complejo cualquiera. Esta función es autofunción de cualquier sistema lineal invariante ya que:
\[ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} z^{n-k} h[k] = z^n\sum_{k=-\infty}^{+\infty} z^{-k} h[k]   \]

Si esta serie converge, ya que el sumatorio no depende de \(n\), \(y[n]\) puede escribirse como:
\[ y[n] = H(z) z^n\]

Este es lo mismo que decir que si a la entrada de un sistema lineal invariante se aplica una secuencia exponencial \(z^n\), a la salida se obtiene la misma secuencia multiplicada por una constante. Por tanto, queda demostrado que las exponenciales complejas \(z^n\) son autofunciones de un sistema lineal invariante cuyos autovalores están determiandos por:
\[ H(z) =  \sum_{k=-\infty}^{+\infty} z^{-k} h[k] \]

Si se interpreta \(z\) como una variable, \(H(z)\) es una función compleja de variable independiente compleja que se conoce como función de transferencia y describe el comportamiento del sistema frente a cualquier entrada.

Sistemas definidos por ecuaciones en diferencias finitas

Los sistemas discretos se pueden caracterizar, además de por su respuesta impulsional, por ecuaciones en diferencias finitas lineales con coeficientes constantes. Una ecuación en diferencias finitas lineal con coeficientes constantes corresponde a:
\[ \sum_{k=0}^P a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{Q} b_k x[n-k] \]
donde \(x[n]\) es una dato (ya que es la secuencia de entrada), \(y[n]\) es la incógnita de la ecuación y \(a_k\) y \(b_k\) son los coeficientes independientes de \(n\). El orden de la ecuación corresponde al mayor entre \(P\) y \(Q\).

No obstante, si se describe un sistema mediante ecuaciones en diferencias finitas, este no queda totalmente caracterizado debido a la falta de información sobre el estado del sistema antes de aplicar ninguna secuencia a la entrada. Es por eso, que para poder determinar cuál será la salida del sistema a una determinada secuencia, es necesario conocer también las condiciones iniciales del sistema. Por ejemplo, en el sistema que define un sumador:
\[ y[n] = x[n] + y[n-1]\]
si se le aplica una secuencia constante \(x[n] = 1\) para \(n\geq 0\), el valor de \(y[0]\) será:
\[ y[0] = x[0] + y[-1] = 1 + y[-1] \]
Solo se podrá determinar el valor de \(y[0]\) si conocemos \(y[-1]\). Normalmente, el sistema se supone que estaba en reposo y que las condiciones iniciales son \(y[n] = 0\) para \(n<0\). De esta manera, \(y[0] = 1\)
\subsubsection{Sistemas recurrentes y no recurrentes}

Los sistemas recurrentes son aquellos que proporcionan valores de \(y[n]\) en función de valores de la propia salida calculados anteriormente. Es decir:
\[ y[n] = \frac{1}{a_0}\left( \sum_{k=0}^{Q} b_k x[n-k] – \sum_{k=1}^{P} a_k y[n-k]  \right) \]

Si la salida \(y[n]\) solo depende de los valores presentes y pasados de \(x[n]\), o lo que es lo mismo, P = 0, el sistema es no recurrente.

\[ y[n] = \sum_{k=0}^{Q} \frac{b_k}{a_0} x[n-k] \]

Respuesta impulsional

Para obtener la respuesta impulsional de un sistema lineal invariante definido por diferencias finitas, basta con aplicar a la entrada la secuencia exponencial \(x[n] = z^n\). Como hemos visto, esta secuencia es autofunción del sistema y por tanto la salida será:
\[ y[n] = H(z) z^n \]

\(H(z)\) no tiene por qué existir siempre ya que el sumatorio que lo define debe converger.

Un sistema lineal invariante definido por ecuaciones de diferencias finitas, como hemos visto, corresponde a la ecuación:

\[ \sum_{k=0}^P a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{Q} b_k x[n-k] \]

Al sustituir \(x[n]\) e \(y[n]\) en la ecuación, se obtiene:
\[ \sum_{k=0}^P a_k H(z)z^{n-k} = \sum_{k=0}^{Q} b_k z^{n-k} \]

\(H(z)\) no depende de k, por lo que puede salir fuera del sumatorio.

\[ H(z) \sum_{k=0}^P a_k z^{n-k} = \sum_{k=0}^{Q} b_k z^{n-k} \]

Si despejamos \(H(z)\) obtenemos:

\[ H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{Q} b_k z^{n-k}}{\sum_{k=0}^P a_k z^{n-k}} = \frac{\sum_{k=0}^{Q} b_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^P a_k z^{-k}} \]

Por tanto, la función de transferencia de un sistema caracterizado por una ecuación en diferencias finitas es un cociente de polinomios en \(z^{-1}\) cuyos coeficientes son directamente los coeficientes de la ecuación.

Por ejemplo, si queremos diseñar un sistema de orden 2 no recurrente que cancele un tono a la frecuencia \(\omega_0 = \frac{\pi}{4}\), la ecuación en diferencias finitas debe seguir la siguiente expresión:
\[ y[n] = \sum_{k=0}^Q b_k x[n-k] \]

ya que el sistema es no recurrente. Por ser de orden 2, \(Q=2\). Por tanto, queda calcular los coeficiente \(b_k\).

La entrada del sistema será:
\[ x[n] = \cos{\left(\frac{\pi}{4}n\right)} = \frac{1}{2} \left( e^{j \frac{\pi}{4} n} + e^{-j \frac{\pi}{4} n} \right) \]

Debido a la fórmula de Euler (\(e^{jx} = \cos{x} + j \sin{x}\)), la entrada puede escribirse como combinación lineal de dos exponenciales. Como se ha demostrado, este tipo de funciones son autofunciones del sistema lineal invariante y por tanto la salida será:
\[ y[n] = \frac{1}{2} e^{j \frac{\pi}{4} n} H\left(e^{j \frac{\pi}{4}} \right) + \frac{1}{2} e^{-j \frac{\pi}{4} n} H\left(e^{-j \frac{\pi}{4}} \right)  \]

Para cancelar un tono a esta frecuencia la salida debe ser nula, \( y[n] = 0\). Esto ocurre si:
\[ H\left(e^{j \frac{\pi}{4}} \right) = H\left(e^{-j \frac{\pi}{4}} \right) = 0\]

La función de transferencia \(H(z)\) será:
\[ H(z) = \sum_{k=0}^{Q=2} b_k z^{-k}\]
ya que \(P = 0\) por ser un sistema no recurrente.

Podemos desarrollar \(H(z)\) como:
\[H(z) = b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} \]

Esta expresión se puede escribir como un producto de raíces y es equivalente a:
\[ H(z) = b_0 \prod_{i=0}^1 \left(1-z_i z^{-1}\right) = b_0 \left( 1 -z_0 z^{-1}\right) \left(1-z_1 z^{-1} \right)  \]

donde \(z_0 = e^{j \frac{\pi}{4}}\) y \(z_1 = e^{-j \frac{\pi}{4}}\).

Podemos identificar ambas expresiones si desarrollamos este producto:
\[ H(z) = b_0 \left(1 + \left(-z_0-z_1\right) z^{-1} + z_0 z_1 z^{-2} \right) \]

El término \(b_0\) solo determina la ganancia del sistema y puede valer simplemente 1. Por tanto:
\[ b_0 = b_0 = 1\]
\[ b_1 = -z_0 -z_1 = -e^{j \frac{\pi}{4}}-e^{-j \frac{\pi}{4}} = 2\cdot \cos{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\]
\[ b_2 = z_0 z_1 = e^{j \frac{\pi}{4}}\cdot e^{-j \frac{\pi}{4}} = 1\]

Finalmente, \(H(z)\) queda como:
\[ H(z) = 1 +  \sqrt{2}z^{-1} + z^{-2} \]

y:

\[ y[n] = 1 + \sqrt{2} z^{-1} + z^{-2} \]

Añadir bibliografía en LaTeX

Para añadir bibliografía en LaTeX a partir de un archivo BibTeX .bib, el archivo BibTeX debe tener la siguiente estrutura:

En el archivo .tex, hay que añadir las siguientes intrucciones:

En \bibliographystyle{unsrt} el argumento puede ser:

plain Estilo normal. Se listan en orden alfabético
unsrt Igual que plain pero aparecen en orden de citación
alpha Igual que plain pero utiliza las etiquetas para identificar la cita en lugar de números
abbrv Igual que plain pero utiliza abreviaciones para los nombres, meses o nombres de revistas

Ahora para citar la referencia en el texto, hay que hacerlo con:

Solo aquellas citas que se hayan llamado en el texto aparecerán en el apartado de referencias.
Si se está usando TexMaker, será necesario compilar varias veces BibTeX y varias veces la compilación rápida para ver los cambios reflejados.

Inducción mútua y corriente inducida en COMSOL Multiphysics

Para calcular la inducción mutua y la corriente inducida por un campo magnético producido por otra bobina, es posible utilizar COMSOL Multiphysics. En COMSOL, una bobina multivuelta es posible modelarla mediante una aproximación homogeneizada o modelo concentrado (como un toroide cilíndrico) en lugar de definir explícitamente cada una de sus espiras.Para ello, hay que utilizar el nodo Multi-turn Coil. El nodo Multi-turn Coil modela el cilindro como un conjunto de hilos pequeños separados por un aislante eléctrico. La corriente fluye solo en una de las direcciones del cable y es despreciable en cualquier otra dirección. También es posible utilizar el nodo distorsión armónica que añade distorsión en la excitación de la bobina.

Para esta simulación, la bobina inferior será la que creará el campo magnético mediante una corriente de 1 A. La bobina superior será sobre la que haremos las medidas, tanto de la tensión en circuito abierto como de la corriente en cortocircuito.

Definición del proyecto

Para empezar, es necesario determinar qué tipo de estudio vamos a realizar, cómo vamos a describir la geometría y qué cálculos querremos hacer. Para ello, utilizaremos el Model Wizard. En él seleccionaremos un espacio 2D axisimétrico para utilizar la simetría axial de las dos bobinas y reducir el tiempo de simulación. Sin embargo, también podemos un espacio tridimiensional para definir la geometría. Para realizar los cálculos de corriente inducida, inducción mútua y demás, solo es necesario saber el campo magnético inducido por una de las bobinas. Por tanto, solo añadiremos la física de los campos magnéticos seleccionando AC/DC > Magnetic Field (mf). El estudio que haremos será del comportamiento en frecuencia de las bobinas por lo que seleccionaremos Frequency Domain en el tipo de estudio.

Definición de parámetros

Una vez creado el proyecto, añadiremos los parámetros de la geometría de las bobinas.

Name Expression Value Description
r_wire 1 [mm] 0.001 m Radius, wire
R1 5 [cm] 0.05 m Radius, coil 1
R2 R1 0.05 m Radius, coil 2
N1 20 20 Number of turns coil 1
N2 20 20 Number of turns coil 2
d 5 [cm] 0.05 m Distance between coils

Definición de la geometría

La geometría va a constar de:

  1. Bobina 1
  2. Bobina 2
  3. Esfera de aire y elementos infinitos
  4. Redondeo de las bobinas

La bobinas bobinas van a tener un arrollamiento plano, igual que las que se muestran el figura de arriba.

Bobina 1

Creamos un rectángulo de anchura r_wire*N1 y altura r_wire. En la pestaña Position, r = R1-r_wire*N1, z = -d/2-r_wire*N1

Bobina 2

Creamos un rectángulo de anchura r_wire*N2 y altura r_wire. En la pestaña Position, r = R2-r_wire*N2, z = d/2

Aire y elementos infinitos

Creamos un círculo con radio 2.25*R1, sector angle = 180º. En Rotation Angle, Rotation=-90º. En la pestaña Layers, creamos una nueva capa de 25 mm. Esta nueva capa va a dividir el circulo en dos 3 partes. La interna será el aire que envolverá las bobinas y las otras dos serán los elementos infinitos. Los elementos infinitos es un concepto que simula que el espacio alrededor de nuestro objeto sea infinito. Para ello, hace que los campos que llegan a esta capa no rebotan y son totalmente absorbidos, simulando que el campo o la onda sigue propagándose.

Redondeo

Añadimos un nodo Fillet en geometría. Añadimos los 8 vértices de los rectángulos y definimos un radio de r_wire/2.

Con todo esto, obtendremos una geometría similar a la siguiente:

Definición de elementos infinitos

En Component1 > Definitions creamos un nodo Infinite Element Domain y seleccionaremos los dos dominios que hemos creado con la capa de 25 mm en el círculo. Los dominios que tenemos que seleccionar son los que se muestran en azul:

Definición de materiales

Primero añadiremos el material de aire, en Built-in > Air para que se añada a todos los dominios. Finalmente, añadimos el material de cobre AC/DC > Copper y se lo asignamos a las dos bobinas.

Definición de física

Para la física, tendremos que añadir dos nodos Multi-Turn Coil para cada una de las bobinas. La bobina 1 tendrá como excitación una corriente de 1 A. Por tanto \(I_{coil} = 1 ~A\), N = N1 y la sección del cable \(\pi r^2_{wire}\).

En el otro nodo Multi-Turn Coil, cambiaremos la sección del cable. Si queremos hacer una medida en circuito abierto, seleccionaremos la excitación de la bobina como tensión y la pondremos a 0 V. Si lo que queremos es hacer una medida en cortocircuito, la excitación será corriente y la corriente igual a 0 A.

Simulación

Por último falta especificar a qué frecuencia queremos realizar la simulación. Para ello, en el subnodo Step 1 de Study 1 espeficamos la frecuencia que queramos. Por ejemplo, 1 kHz. Una vez descrita la física y el estudio ya podemos simular. Antes de simular podemos hacer click sobre el nodo de Study 1 y deseleccionar la opción que genera gráficas por defecto para el estudio de campo magnético. Una vez hayamos terminado, hacemos click en Compute.

Presentación de resultados

Una vez COMSOL termine la simulación, si creamos una gráfica veremos como aparentemente no ha simulado nada, habiendo un pequeño punto en la capa de elementos infinitos que tiene un color diferente de azul. Esto es debido a que existe una singularidad en este punto haciendo que la simulación tienda a infinito. Por culpa de esto, hace que todos los valores en comparación a este sean muy pequeños y apenas sean visibles en la escala de colores. Para evitar esto, es necesario especificar qué dominios del estudio queremos visualizar. Para ello, hacemos click derecho en el nodo Study 1/Solution 1 y creamos un subnodo de Selection. En geometric entity level cambiamos Entire geometry por Domain y seleccionamos solo el aire y las dos bobinas, dejando los elementos infinitos fuera de la selección.

Ahora ya podemos visualizar correctamente los resultados de campo magnético que ha generado por defecto COMSOL.

 
La inducción mútua se calcula como:
\[ L_{12} = \frac{N_2}{I_1} \int B\cdot dS \]

Implementando esta ecuación como una integral en el área de la bobina superior de la componente del flujo magnético en Z se consigue la inducción mutua entre ambas bobinas.

Desajuste en la referencia a figuras, ecuaciones o tablas en Latex

Si el número que aparece como referencia al referenciar un objeto (imagen, ecuación, tabla, etc.) mediante el comando \ref{} no coincide con el del elemento, es porque la sentencia \caption{} aparece después de la de \label{}.

Esto ocurre porque elementos numerados como /section, \begin{equation} o \caption utilizan un contador para saber qué número es el siguiente elemento. Este contador es \refstepcounter y sirve para incrementar el contador que lleva la cuenta del número de índice de un capítulo, número de ecuación o número de figura. Cuando se escribe una etiqueta \label se guarda esa información en el archivo .aux con el fin de que cuando se escriba \ref en el documento, sepa cuál de todos los contadores debe mostrar para esa referencia. Cuando se está dentro de un entorno como por ejemplo \begin{equation} o \begin{figure} se le está diciendo a \label que incremente el contador de ese entorno. Lo mismo ocurre con table. Por tanto, cuando se pone \label antes que \caption, se incrementa el contador de \label y se muestra el número erróneo en \ref

Para ver los cambios puede que sea necesario recompilar un par de veces.

Fuente: Table numbering mismatch in caption and in text